Tarski’s Practice and Philosophy: Between Formalism and Pragmatism: What has Become of Them?

Collection : Synthese Library, n°341International audienceConsidering works by Tarski, the author claims that Tarski’s fundamental aim was to establish formal semantics as a new branch of mathematics

Facets and Levels of Mathematical Abstraction

International audienceMathematical abstraction is the process of considering and manipulating operations, rules, methods and concepts divested from their reference to real world phenomena and circumstances, and also deprived from the content connected to particular applications. There is no one single way of performing mathematical abstraction. The term "abstraction" does not name a unique procedure but a general process, which goes many ways that are mostly simultaneous and intertwined ; in particular, the process does not amount only to logical subsumption. I will consider comparatively how philosophers consider abstraction and how mathematicians perform it, with the aim to bring to light the fundamental thinking processes at play, and to illustrate by significant examples how much intricate and multi-leveled may be the combination of typical mathematical techniques which include axiomatic method, invarianceprinciples, equivalence relations and functional correspondences.L'abstraction mathématique consiste en la considération et la manipulation d'opérations, règles et concepts indépendamment du contenu dont les nantissent des applications particulières et du rapport qu'ils peuvent avoir avec les phénomènes et les circonstances du monde réel. L'abstraction mathématique emprunte diverses voies. Le terme " abstraction " ne désigne pasune procédure unique, mais un processus général où s'entrecroisent divers procédés employés successivement ou simultanément. En particulier, l'abstraction mathématique ne se réduit pas à la subsomption logique. Je vais étudier comparativement en quels termes les philosophes expliquent l'abstraction et par quels moyens les mathématiciens la mettent en oeuvre. Je voudrais parlà mettre en lumière les principaux processus de pensée en jeu et illustrer par des exemples divers niveaux d'intrication de techniques mathématiques récurrentes, qui incluent notamment la méthode axiomatique, les principes d'invariance, les relations d'équivalence et les correspondances fonctionnelles

Style et contenus formels chez Gilles Gaston Granger

International audienceSoumettant les œuvres scientifiques à une analyse stylistique, G.G. Granger a ouvert pour l'épistémologie des sciences un champ neuf, où les historiens ont puisé à leur tour l'inspiration d'un nouveau regard sur l'histoire des sciences. L'article présente la généalogie, chez Granger, de l'approche stylistique. Celle-ci répond à la question : une connaissance formelle de l'individuel est-elle possible ? Par sa "philosophie du style" Granger ne vise rien moins qu'à ouvrir une brèche dans le postulat d'Aristote selon lequel il n'y a de science que du général et à instaurer une rationalité qui ne renvoie ni à l'a priori ni aux causes historiques, factuelles, matérielles

Vuillemin : Dedekind initiateur de l’Algèbre de l’Algèbre

Dans le deuxième volume, inédit, de La Philosophie de l’Algèbre, Jules Vuillemin fait une lecture inattendue et suggestive de l’œuvre de Richard Dedekind. Nous avons essayé de comprendre, en mobilisant les idées et outils de Vuillemin, les résultats de cette lecture. Ceux-ci nous semblent poser en particulier le problème des rapports entre histoire des sciences et philosophie des sciences. Notre article propose un diptyque pour présenter les questions que nous avons voulu poser au texte de Vuillemin. D’une part, nous analysons de quelle manière Vuillemin continue et approfondit le travail de Jean Cavaillès. D’autre part, nous souhaitons accentuer la distance qu’établit Vuillemin entre l’histoire mathématique et son interprétation par les filiations conceptuelles qu’il propose comme essentiellement distinguées des relations historiques.In the second unpublished volume of La Philosophie de l’Algèbre, Jules Vuillemin gave an unexpected and suggestive reading of Richard Dedekind’s works. We tried to understand the results of this reading by using Vuillemin’s own ideas and tools. To us, these results seemed to question the relations between history of science and philosophy of science. Our paper proposes a diptych to present the questions we wanted to ask to Vuillemin’s text. Firstly, we analyze how Vuillemin continued and deepened Jean Cavaillès’ work. Secondly, we aimed to emphasize the distance Vuillemin set between the history of mathematics and his interpretation of the conceptual parentage which he considered essentially distinct from historical relations

Address at the Princeton University Bicentennial Conference on Problems of Mathematics

International audienceThis article presents Tarski's Address at the Princeton Bicentennial Conference on Problems of Mathematics, together with a separate summary. Two accounts of the discus-sion which followed are also included. The central topic of the Address and of the discussion is decision problems. The introductory note gives information about the Conference, about the background of the subjects discussed in the Address, and about subsequent developments to these subjects

Deux moments dans l'histoire du Théorème d'algèbre de Ch. F. Sturm

International audienceAt the outset (1829), Ch. F. Sturm's theorem of algebra provided an algorithm for counting the number of roots of a polynomial which lie within an interval of real numbers. Generalized by A. Tarski during the 1930s, this theorem became a decision algorithm for the first-order theory in logic of the ordered field of the real numbers. In the following article, I consider these two events : the origins of Sturm's theorem, which lay in J. Fourier's similar theorem ; and the transformation of Sturm's theorem by Tarski, which displayed its logical significance and, in this way, ushered in the revival to which this theorem still owes its actuality. From the viewpoint that I take in this study, I take up various general questions : about exchanging algebra and analysis : about definitions in terms of necessary and sufficient conditions ; about the algebraic nature of methods ; about the effectivity of procedures (meaning whatever enables procedures such as finitely recursive procedures to be carried out in a finite number of steps) ; and about the notion of algorithm.Au départ (1829), le théorème d'algèbre de Ch. F. Sturm fournit un algorithme pour compter le nombre de racines d'un polynôme sur un intervalle réel. Généralisé par A. Tarski (dans les années 1930), il devient un algorithme de décision pour la théorie logique du premier ordre du corps ordonné des nombres réels. L'article suivant considère ces deux moments : la naissance du théorème de Sturm à partir du théorème analogue de J. Fourier ; sa transformation par Tarski qui en révèle la portée logique et inaugure ainsi le renouvellement auquel ce théorème doit encore son actualité. Diverses questions générales sont abordées par le biais de cette étude : sur les échanges entre Algèbre et Analyse, sur les définitions par conditions nécessaires et suffisantes, sur la nature algébrique des méthodes, sur l'effectivité des procédures, sur la notion d'algorithme

Idées : le platonisme phénoménologique d’Albert Lautman

International audienceAlbert Lautman’s main questioning was about the nature of reality and the capacity of mind to grasp reality. The answer needs to go at the same time into the laws and tools of physics and the corresponding concepts of mathematics, and to search for the metaphysical interpretation that could give an account of the relation between scientifi c thought and reality. The examinationof the most sophisticated mathematical theories (Rieman’s surfaces, law of quadratic reciprocity, class fi eld theory) was intended to show the affinity between the generation of mathematical concepts and the dialectical movement of Ideas. My aim is to explain how Lautman understood ‘Idea’, ‘Dialectic’, ‘genesis’ at once in a mathematical and in a metaphysical meaning. I will pointout that Lautman had a very personal conception of Platonism, very different from Platonism of mathematicians of his time (notably Gödel and Bernays) and very different from the traditional interpretation developed in philosophy. Lautman did not assume the separation between Ideas and the sensible world. By contrast, he adopted the Heideggerian style of thought to show the Dialectic between Ideas and the reciprocal relation between Ideas and the sensible.La question fondamentale d’Albert Lautman concerne la nature du réel et la capacité de l’esprit de l’appréhender. C’est pourquoi elle convoque les données de la physique, leur expression en concepts mathématiques et leur interprétation métaphysique qui doit préciser le rapport de la pensée humaine à la réalité du monde. L’examen des théories mathématiques les plus sophistiquéesde son temps (surface de Riemann, loi de réciprocité quadratique, théorie du corps de classes) est destinée à montrer l’affi nité de la genèse des concepts mathématiques avec une Dialectique supérieure, qui met en jeu les Idées, comprises en un sens dérivé de Platon. Mon but est d’expliquer comment Lautman comprend les termes « Dialectique », « Idée », « genèse », simultanément sur le plan métaphysique et dans leur incarnation mathématique. Je montrerai que Lautman développe une conception très personnelle du platonisme, différente de celle de la version reçue par la tradition philosophique. Lautman rejette la séparation des Idées et du sensible, et adopte le style de pensée heideggerien pour montrer que les Idées sont mues par une Dialectique et qu’elles entretiennent une relation réciproque, dialectique, avec le sensible

Introduction /Introduction

Benis-Sinaceur Hourya. Introduction /Introduction. In: Revue d'histoire des sciences, tome 52, n°3-4, 1999. Mathématique et logique chez Bolzano. pp. 339-341

Neurophilosophy of Number

International audienceNeurosciences and cognitive sciences provide us with myriad empirical findings that shed light on hypothesised primitive numerical processes in the brain and in the mind. Yet, the hypotheses on which the experiments are based, and hence the results, depend strongly on sophisticated abstract models used to describe and explain neural data or cognitive representations that supposedly are the empirical roots of primary arithmetical activity. I will question the foundational role of such models. I will even cast doubt upon the search for a general and unified philosophical foundation of an empirical science. First, it seems to me hard to draw a global and coherent view from the innumerable and piecemeal neuropsychological experiments and their variable, and sometimes uneasily compatible or fully divergent interpretations. Secondly, I think that the aim of empirical research is to describe dynamical processes, establishing correlations between different sets of data, without meaning to fix an origin or to point to a cause, let alone to a ground. From the very scientific and philosophical point of view it is essential to distinguish between explanations, which provide correlations or, at best, causal mechanisms, and grounding, which involves a claim to some form of determinism